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Es gilt ¨ber V ist definiert als V = V a (I) ⊂ An+1 k I(V a ) = I(V ). , Xn ]/I(V a ). Dann ist S(V ) = d≥0 Sd (V ) mit Sd (V ) = {f + I(V a ) ∈ S(V )|f homogen, grad(f ) = d} ∪ {0} ein graduierter Ring. Dieser wird als homogener Koordinatenring von V bezeichnet. Sei S ein Ring und T ⊂ S eine multiplikativ abgeschlossene Menge. Dann ist T −1 S = ur ein x ∈ T . Ist S = d≥0 Sd {s/t|s ∈ S, t ∈ T }/ ∼ mit st ∼ st ⇐⇒ (st − s t)x = 0 f¨ graduiert und besteht T aus homogenen Elementen, so k¨onnen wir eine Graduierung auf T −1 S definieren.

Dann ist f stetig auf dom(f ). Beweis. Sei V = dom(f ). Dann ist f : V → W . Sei Y ⊂ W abgeschlossen. Wir m¨ ussen zeigen, dass f −1 (W ) abgeschlossen ist. Wir f¨ uhren den Beweis, dass V, W affin sind. Sei V ⊂ AnK , W ⊂ Am K . W werde durch Polynome tj definiert. , fm ) mit fi ∈ K(V ). , Xn ] und hi (P ) = 0 f¨ ur alle P ∈ U besitzt. , . h. f −1 (Y ) ∩ U ist die Nullstellenmenge geeigneter Polynome st auf U . Damit ist f −1 (U ) abgeschlossen in U . Mit dem letzten Satz folgt, dass f −1 (Y ) abgeschlossen in V ist.

Xn ], f = 0. 1. , XN ]|f irreduzibel}/K ∗ −→ { irreduzible Hyperfl¨ache in AnK } ist eine Bijektion. Beweis. , Xn ] irreduzibel, somit ist f prim, also ist (f ) prim, also ist I(V (f )) = (f ) = (f ), also ist V (f ) irreduzibel. Die Abbildung ist injektiv: Sei V (f ) = V (g), also (f ) = (f ) = I(V (f )) = I(V (g)) = (g) = (g). , Xn ] und V (f ) irreduzibel. fm eine Zerlegung von f in irreduzible Komponenten. Dann ist V (f ) = V (f1 ) ∪ ... ∪ V (fm ). Da V (f ) irreduzibel ist, ist V (f ) = V (fi ) f¨ ur ein i.

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